Có nhiều hơn một cách để chứng minh định lý Wolstenholme. Đây là bài chứng minh sử dụng phiên bản của Glaisher bao gồm cả đại số và tổ hợp.

Gọi p là số nguyên tố bất kì, và đặt a và b là hai số nguyên khác không bất kì. Khi đó tập A chứa ap phần tử có thể chia thành a vành với độ dài p, mỗi vành có thể được quay tùy ý. Do đó tổng trực tiếp của a nhóm cyclic cấp p tác động trên A, và theo mở rộng nó cũng tác động trên các tập con với cấp bp. Mỗi quỹ đạo của tác động nhóm này có pk phần tử, với k là số vành chưa hoàn thiện, tức là có k vành chỉ giao một phần với tập con B trong quỹ đạo. Có ( a b ) {\displaystyle \textstyle {a \choose b}} quỹ đạo với kích thước 1 và không có quỹ đạo nào với kích thước p. Do đó ta thu được định lý Babbage

( a p b p ) ≡ ( a b ) ( mod p 2 ) . {\displaystyle {ap \choose bp}\equiv {a \choose b}{\pmod {p^{2}}}.}

Xét quỹ đạo với kích thước p2, ta cũng thu được

( a p b p ) ≡ ( a b ) + ( a 2 ) ( ( 2 p p ) − 2 ) ( a − 2 b − 1 ) ( mod p 3 ) . {\displaystyle {ap \choose bp}\equiv {a \choose b}+{a \choose 2}\left({2p \choose p}-2\right){a-2 \choose b-1}{\pmod {p^{3}}}.}

Ngoài các hệ quả khác, phương trình này cho ta biết a=2 và b=1 chứng minh trường hợp chung cho dạng thứ hai của định lý Wolstenholme.

Chuyển từ tổ hợp sang đại số, cả hai vế của phương trình đồng dư đều là đa thức của a với mỗi b cố định. Biểu thức do đó thỏa mãn cho bất kỳ số nguyên a, nếu b được cố định trước. Cụ thể hơn nếu a=-1 và b=1, thì

( − p p ) ≡ ( − 1 1 ) + ( − 1 2 ) ( ( 2 p p ) − 2 ) ( mod p 3 ) . {\displaystyle {-p \choose p}\equiv {-1 \choose 1}+{-1 \choose 2}\left({2p \choose p}-2\right){\pmod {p^{3}}}.}

Phép đồng dư này trở thành phương trình cho ( 2 p p ) {\displaystyle \textstyle {2p \choose p}} sử dụng quan hệ

( − p p ) = ( − 1 ) p 2 ( 2 p p ) . {\displaystyle {-p \choose p}={\frac {(-1)^{p}}{2}}{2p \choose p}.}

Khi p lẻ, quan hệ thành

3 ( 2 p p ) ≡ 6 ( mod p 3 ) . {\displaystyle 3{2p \choose p}\equiv 6{\pmod {p^{3}}}.}

Khi p ≠ 3, ta có thể chia hai vế bằng 3.